Travailler les décimaux

L'enseignement des nombres décimaux doit respecter un principe de progressivité, comme le précisent les programmes :

• les élèves doivent d’abord apprendre à construire et à utiliser les nombres entiers ;
• ensuite on aborde les fractions simples (les demis, les quarts, les huitièmes) ;
• puis viennent les fractions décimales (les dixièmes, centièmes et millièmes).

C’est alors que l’on introduit l’usage des nombres écrits avec une virgule, tout en sachant que les élèves croisent quotidiennement ces nouvelles écritures avec les prix, les masses, les longueurs… Il va donc falloir aménager progressivement la construction du sens pour ces nouveaux nombres.

Les programmes stipulent que « la résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques ». Les programmes indiquent également que « les situations sur lesquelles portent les problèmes sont, le plus souvent, issues de la vie de classe, de la vie courante ». Pour les décimaux, cela s’applique parfaitement : ces nombres ont été inventés pour résoudre des problèmes de la vie courante, pour répondre à des questions quotidiennes du type « combien ça mesure ? » Les décimaux permettent de répondre avec une grande précision à cette question. Avec eux, nous savons combien mesure cette longueur, cette aire, cette masse, cette capacité. C’est donc par des situations dans lesquelles les nombres entiers vont trouver leur limite que les nombres décimaux vont être abordés, qu’ils vont prendre sens et être utilisés, maîtrisés.

Le calcul posé avec des décimaux est abordé quand les élèves peuvent donner du sens aux chiffres utilisés dans l’écriture de ces nombres. Il est, en effet, primordial de pouvoir identifier la valeur de chaque chiffre, selon sa position dans l’écriture, afin de calculer sans erreur. Les erreurs de calcul sont souvent causées par des conceptions erronées de l’écriture à virgule des nombres décimaux. Ainsi il est courant de voir des élèves considérer qu’un nombre décimal écrit avec une virgule est en fait un couple de deux nombres entiers séparés par une virgule. C’est ainsi que l’on peut trouver des calculs du type 4,9 + 3,7 = 7,16. Ce type d’erreur se rencontre aussi avec la multiplication : 6,4 x 3,5 = 18,20. Il est donc nécessaire de s’assurer que les élèves savent attribuer à chaque chiffre sa valeur, mais aussi qu’ils maîtrisent les techniques opératoires avec des nombres entiers.

Pour renforcer les compétences de calcul sur les nombres décimaux, il est important d’entraîner les élèves au calcul mental. On commence par des additions d’un entier avec un décimal, puis de deux décimaux. On peut ensuite effectuer des soustractions, par exemple 5 - 0,2. On consolide ainsi le sens de la partie décimale du nombre. Les séances de calcul mental gagnent à être explicitées : les stratégies sont précisées, une synthèse est à chaque fois effectuée.

L’enseignement du calcul avec des décimaux débute au CM1 et se poursuit jusqu’en sixième. La progressivité de cet enseignement est la suivante :

• l’addition et la soustraction de deux nombres décimaux ;
• la multiplication d’un nombre décimal par un entier ;
• la division d’un nombre décimal par un entier ;
• la multiplication de deux nombres décimaux.

Pour la division, on gagne à commencer par des cas de divisions de deux entiers dont le résultat sera un décimal. Ensuite on étudie le cas d’un nombre décimal divisé par un entier. Pour finir on peut, plus tard, aborder la division de deux nombres décimaux.